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當(dāng)軸心受壓時(shí)，有  ，再將方程（2）兩邊同時(shí)除以 ，展開(kāi)后則方程（2）成為
 (3)
這就是L形鋼異型柱在軸心受壓情況下的穩(wěn)定方程，它是關(guān)于壓力P的一元三次方程。我們將根據(jù)一元三次方程根的性質(zhì)，求解它的根。
2 換算長(zhǎng)細(xì)比
由文獻(xiàn)[1]我們知道，方程（3）是齊次方程（4）的特征方程。
 (4)
將方程（4）寫(xiě)成如下形式：
令：  
得： �。ǎ担�
因?yàn)?IMG onmousewheel="return bbimg(this)" height=21 src="/Article/UploadFiles/200706/20070604094803171.gif" width=16 onload=javascript:resizepic(this) border=0>為對(duì)角陣，且各主元素都大于零，而 ，所以矩陣 、 的各階順序主子式的行列式均大于零，且矩陣、均為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，根據(jù)線性代數(shù)有關(guān)定理可知、均為正定矩陣，L形鋼異形柱軸心受壓承載力是正定系統(tǒng)。類(lèi)比機(jī)械振動(dòng)理論 問(wèn)題，其中 為系統(tǒng)的剛度矩陣，  為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，、都為正定矩陣，則由 解出的 個(gè)  的值，即、矩陣對(duì)的廣義特征值均為正實(shí)數(shù)，且互不相等。由此得出，本文方程  的根是、矩陣對(duì)的廣義特征值  ，展開(kāi)后一元三次方程（3）的根是三個(gè)正的互不相等的實(shí)數(shù)。求解如下。
令：  
  （6）
于是方程（3）就可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：
 （7）
再令  ，方程（7）就可以表示為：
 （8）
令：  
所以，方程（8）就可以表示為：  （9）
根據(jù)本文所研究的問(wèn)題，可以證明
 （10）
    （11）
由此，我們利用卡丹公式的根的三角函數(shù)表達(dá)形式，就可以得出一元三次方程（9）的三個(gè)根  、  、 為：
（12）
式中：   （13）
所以，一元三次方程（3）的三個(gè)根  、  、 為：
   （14）
由于、、為三個(gè)互不相等的正實(shí)根，因此，L形鋼異形柱在軸心受壓情況下的臨界力的理論解為： 。下面比較、、三個(gè)力的大小：
通過(guò)分析可知：  ，  ， 
 ，  ， ，
  、 且
   且 又 
 即 
即L形鋼異形柱在軸心受壓情況下的穩(wěn)定臨界力的理論解為：
 �。�15）
若定義： （16）
式中  為柱換算長(zhǎng)細(xì)比，結(jié)合（15）式，并將（6）、（13）等參數(shù)代入，再 令
 （17）
則得： （18）
這就是L形截面柱換算長(zhǎng)細(xì)比。
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