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王明貴
(中國(guó)建筑科學(xué)研究院，北京100013)
[提 要] 應(yīng)用地基與基礎(chǔ)相互作用原理，研究了建筑結(jié)構(gòu)中筏板基礎(chǔ)的計(jì)算方法，在計(jì)算中考慮了上部結(jié)構(gòu)剛度的影響和土的塑性問(wèn)題，為工程應(yīng)用研制了筏板基礎(chǔ)計(jì)算程序TBSA-F  ，已被應(yīng)用于高層建筑結(jié)構(gòu)的地基基礎(chǔ)工程設(shè)計(jì)中。
[關(guān)鍵詞] 筏板基礎(chǔ)，相互作用，上部結(jié)構(gòu)剛度
高層建筑對(duì)基礎(chǔ)作用的荷載較大，為滿足地基土的承載力要求，必須將基礎(chǔ)整片連續(xù)地設(shè)置于建筑物之下，如筏板基礎(chǔ)等，從而大大地減少了對(duì)地基土的附加壓力。在大多數(shù)情況下，這種連續(xù)性基礎(chǔ)不僅能滿足地基土的承載力要求，而且還依靠基礎(chǔ)的連續(xù)性和雙向抗彎性能來(lái)加強(qiáng)建筑物的整體剛度，以利于調(diào)整不均勻沉降，并且還能改善建筑物的抗震性能。
依據(jù)溫克爾(Winkler,1867)假定，地基土受壓被看作是許多彼此不相聯(lián)接的彈簧體系的受壓，可見(jiàn)它是阿基米德定律的直接推廣。實(shí)踐表明，這對(duì)淺地基或受條形荷載的構(gòu)件(如彈性地基梁)分析是比較符合的。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，考慮地基土為連續(xù)介質(zhì)模型的分析成為可能。
一、 地基模型
在建筑物荷載作用下，地基與基礎(chǔ)緊密接觸。假定基礎(chǔ)是彈性的，地基土是層狀結(jié)構(gòu)的，并具有彈塑性性能。地基與基礎(chǔ)之間相互作用受力分析應(yīng)滿足整體平衡和變形連續(xù)性條件。 如圖1所示彈性半空間體的計(jì)算簡(jiǎn)圖,布辛涅斯克解答為
*中國(guó)建筑科學(xué)研究院基金項(xiàng)目
式中，  是地基土的彈性常數(shù)。在水平邊界上任意一點(diǎn)的法向位移即沉降為
 (2)
可見(jiàn)，沉降變形是光滑連續(xù)地發(fā)展在力作用點(diǎn)之外，但衰減很快。如果是受連續(xù)分布的法向力p(x、y)作用，則用積分表達(dá)為
 (3)
地基土是層狀結(jié)構(gòu)的，如果任意第k層土的彈性常數(shù)為  ，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定土在完全側(cè)限條件下的壓縮應(yīng)變  與附加應(yīng)力  成正比，即
 (4)
則沉降變形
 (5)
式中，  為第k層土的厚度。為便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用計(jì)算，將地基表面劃分一些有限元計(jì)算網(wǎng)格來(lái)描述任一點(diǎn)i的沉降與j點(diǎn)作用力之間的關(guān)系。設(shè)網(wǎng)格總數(shù)為L(zhǎng)，各網(wǎng)格的面積分別為ai( i=1,2,…,L)，相應(yīng)的壓力分別為pi( i=1,2,…,L)，每一個(gè)網(wǎng)格上的壓力可認(rèn)為是均布的。如圖2所示。按疊加原理，第i網(wǎng)格之中點(diǎn)的沉降  為所有各網(wǎng)格上壓力分別引起的沉降總和，即
 
或?qū)懗删仃囆问綖?/P>
式中，  為地基柔度矩陣，
其柔度系數(shù) 為第j點(diǎn)單位
力引起第i點(diǎn)的沉降。在(4)
式的假定下，各土層的沉降
疊加得 的元素為
式中，  為地基附加壓應(yīng)力，
在這里由(1)式取P=1即可。
m是地基土計(jì)算總層數(shù)。
二. 彈性地基板
根據(jù)板彎曲理論的勢(shì)能泛函 
 (9)
式中，
 (10)
其，t為板厚，E和  為板的彈性常數(shù)，q為板面上作用的分布荷載，p為板底土的分布力，w和  分別為板的撓度和轉(zhuǎn)角，n和s分別為板邊界的法向和切向座標(biāo)。將板劃分為有限元計(jì)算網(wǎng)格后(與地基土的網(wǎng)格一致)，第i結(jié)點(diǎn)的撓度w和轉(zhuǎn)角 記為
 (11)
設(shè)單元網(wǎng)格內(nèi)的位移
 (12)
為該單元各結(jié)點(diǎn)位移
 (g為單元結(jié)點(diǎn)數(shù)) (13)
的插值函數(shù)，即
 (14)
則
 (15)
其中  為形函數(shù)  。則式中 運(yùn)算得到的矩陣。根據(jù)最小勢(shì)能原理
 (16)
將（9）代入（16），得
 (17)
令
 (18)
則(17)式改寫成
 (19)
即
 (20)
在式(20)中， 為板單元的總剛度矩陣，  為結(jié)點(diǎn)位移列陣，  為結(jié)點(diǎn)荷載列陣， 
為結(jié)點(diǎn)反力列陣。根據(jù)式(7)，得
 (21)
式中為地基單元的總剛度矩陣。  為沉降變形，它與板的撓度相等，  ，即連續(xù)性條件。則方程(20)為
 (22)
方程(22)就是地基與基礎(chǔ)板相互作用的控制方程，便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用計(jì)算。
最后，記板中的內(nèi)力為
 (23)
則有
 (24)
式中  為板的內(nèi)力矩陣。
三. 相關(guān)問(wèn)題
為了將上述的地基與基礎(chǔ)相互作用一般原理應(yīng)用到工程實(shí)際中去，還需處理幾個(gè)相關(guān)問(wèn)題，本文從工程實(shí)用計(jì)算上近似考慮了以下這些問(wèn)題。
3.1 土的塑性影響
根據(jù)土力學(xué)原理，土的臨塑壓力為[3]
 (25)
式中d為基礎(chǔ)的埋置深度,  為地基土的密度，c為地基土的粘聚力，  為地基土的內(nèi)摩擦角。當(dāng)?shù)鼗了惺艿膲毫Τ^(guò)了pcr后，土體就會(huì)發(fā)生局部剪力破壞，基底反力重分布。隨著壓力的增加，土的塑性區(qū)逐漸擴(kuò)展。但經(jīng)驗(yàn)證明，只要塑性區(qū)的范圍不超過(guò)某一限度，就不致影響建筑的安全使用，這時(shí)的控制條件應(yīng)是沉降量。因此，有經(jīng)驗(yàn)表明，在中心荷載作用下，塑性區(qū)的最大深度可以控制在基礎(chǔ)寬度的四分之一，相應(yīng)的荷載用  表示，即
 (26)
在地基與基礎(chǔ)之間的互相作用計(jì)算中，為了考慮土的塑性，要用迭代法求解方程(20)和(21)，并引入土的臨塑壓力，使每次迭代的反力不超過(guò)土的臨塑壓力pcr或  ，即  �？紤]了土的塑性后，基底反力趨近平緩，板中內(nèi)力有所減少。從而可節(jié)省配筋量。但應(yīng)用臨塑公式(25)或(26)時(shí)應(yīng)注意，該公式是在均布條形荷載的淺基礎(chǔ)情況下導(dǎo)出的，應(yīng)作深寬修正，可參考地基承載力的修正方法 。
3.2 上部結(jié)構(gòu)剛度的影響
上部結(jié)構(gòu)剛度對(duì)地基不均勻沉降和基礎(chǔ)撓曲有約束作用，約束的強(qiáng)弱與上部結(jié)構(gòu)的型式有關(guān)，較為精確地分析是很困難的，但考慮這種約束影響與否對(duì)基礎(chǔ)內(nèi)力計(jì)算有一定的影響。我國(guó)有關(guān)規(guī)范采用了G.G邁耶霍夫(Meyerhof,1963)提出的“等代剛度梁法”來(lái)粗略估計(jì)上部框架結(jié)構(gòu)剛度對(duì)基礎(chǔ)彎曲的影響[3]，即
 (27)
但對(duì)于二維的基礎(chǔ)問(wèn)題，整體彎矩M的概念就不適當(dāng)了。另外，當(dāng)上部框架層數(shù)較大時(shí)，該方法對(duì)上部結(jié)構(gòu)整體剛度的估計(jì)偏高。實(shí)測(cè)基礎(chǔ)中鋼筋應(yīng)力表明，鋼筋應(yīng)力并不隨荷載層數(shù)的增加而一直增加，上部在逐層施工的過(guò)程中，對(duì)基礎(chǔ)是逐層加載的，而層剛度滯后逐層形成，在施工初始階段，層荷載增加，但層剛度還未形成，基礎(chǔ)隨荷載增加而內(nèi)力增大，當(dāng)施工到一定層數(shù)時(shí)，層剛度漸漸形成，這時(shí)雖然施工層荷載增加，但基礎(chǔ)內(nèi)力增大趨緩，形成了對(duì)基礎(chǔ)自由彎曲的制約作用，這種制約作用是通過(guò)基礎(chǔ)平面上的墻柱構(gòu)件抗
彎來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此，可計(jì)算出各墻肢和柱的線剛 和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 ，如第i結(jié)點(diǎn)上的柱子剛度k 記為
 , i=1,2,3,…,  （28）
其中， ，(h為層高)。將柱的剛度分配到附近的單元結(jié)點(diǎn)上，所有柱子形成一個(gè)總剛度矩陣 作為筏板彎曲的附加剛度，離散地作用在筏板中過(guò)墻柱處的結(jié)點(diǎn)上，從而能體現(xiàn)出柱距（跨度）不同的影響。
筏板基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)相互作用計(jì)算也容易實(shí)現(xiàn)：
第一步，計(jì)算上部結(jié)構(gòu)，取筏板基礎(chǔ)為嵌固端；
第二步，用上部結(jié)構(gòu)計(jì)算的底層柱腳力作為筏板基礎(chǔ)計(jì)算的荷載來(lái)計(jì)算筏板的內(nèi)力和位移（ ， ；
第三步，由第二步可得各柱的伸縮變形 及其最小的 ，從而可計(jì)算出各柱的次生力系：
 （29）
第四步，用第三步的這些力去修改第一步的荷載{P}；
第五步，重復(fù)一至四步，直到前后兩次計(jì)算結(jié)果相近為止（收斂精度控制）。
這些計(jì)算過(guò)程必須由計(jì)算機(jī)完成。
3.3 樁基礎(chǔ)剛度的引入
若是樁筏基礎(chǔ)，要引入樁的剛度，其定義為樁頂產(chǎn)生單位變位（沉降或轉(zhuǎn)動(dòng)）所需的力，其值由現(xiàn)場(chǎng)壓樁實(shí)驗(yàn)所得，也可按公式計(jì)算。記為
 , i=1,2,,3，…, 
工程樁一般較大，作用面寬，需將樁的剛度分配到附近的單元結(jié)點(diǎn)上，所有樁形成一個(gè)總剛度矩陣  作為基礎(chǔ)的附加剛度，離散地分布在地基剛度矩陣中樁位所在處的各單元結(jié)點(diǎn)上。但是，樁基剛度矩陣與地基剛度矩陣不能簡(jiǎn)單疊加，否則，樁的反力計(jì)算結(jié)果會(huì)因單元網(wǎng)格劃分的大小不同而有很大差別的奇怪現(xiàn)象產(chǎn)生。
四. 計(jì)算程序?qū)崿F(xiàn)
按上述地基與基礎(chǔ)相互作用原理，結(jié)合我國(guó)現(xiàn)行規(guī)范，我們研制開(kāi)發(fā)了基礎(chǔ)計(jì)算程序TBSA-F[4]，已通過(guò)專家鑒定，并應(yīng)用于工程實(shí)際中 。該計(jì)算程序能自動(dòng)劃分有限元網(wǎng)格和自動(dòng)處理相關(guān)的問(wèn)題（設(shè)有選擇開(kāi)關(guān)），可操做性強(qiáng)，無(wú)論用戶對(duì)有限元理論了解的程度如何，都能方便地使用該程序。有限元計(jì)算數(shù)據(jù)很多，限于篇幅，我們將在另文討論工程計(jì)算數(shù)據(jù)分析。
參 考 文 獻(xiàn)
1 徐芝綸編。彈性力學(xué)。人民教育出版社，1979。
2 浙江大學(xué)。彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法。機(jī)械工業(yè)出版社，1981.8。
3 華南理工大學(xué)等編。地基及基礎(chǔ)。中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1991.11。
4 王明貴。建筑結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)計(jì)算程序TBSA-F的研究。建筑科學(xué)報(bào)告，1997.5
5 陳四川。北京首都時(shí)代廣場(chǎng)筏基設(shè)計(jì)與施工。第十五屆全國(guó)高層建筑結(jié)構(gòu)學(xué)術(shù)交流會(huì)論文集。1998
6 王明貴等。高層建筑中主樓與裙房基礎(chǔ)協(xié)同工作計(jì)算研究。第十五屆全國(guó)高層建筑結(jié)構(gòu)學(xué)術(shù)交流會(huì)論文集。1998
Calculating Analysis and Engineering Application on the Mat Foundation
Wang Ming Gui，
(China Academy of Building Research，Beijing)
Abstract
This manuscript has done research on the computational methods of the mat foundation with the interactive principles of soil and base. The effects on the superstructures rigidity and the plastics of the soil have been considered in the calculating methods. The computational programs have been made and applied in the mat foundation engineering of tall buildings by means of these calculating methods .
Key words: mat foundation, interaction , superstructure rigidity
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